Question

4．已知集合M={（x，y）|x-3≤y≤x-1}，N={P|PA≥$\sqrt{2}$PB}，A（-1，0）、B（1，0），则表示M∩N的图形的面积等于$\frac{4}{3}$π+2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 建立坐标系：M为直线y=x-1和y=x-3之间的点的集合（含线上的点），N集合为以（3，0）为中心，半径为2$\sqrt{2}$的圆内的点的集合，联立方程组，求出点C，D的坐标，求出CD的长，再解直角三角形，求出扇形的圆心角，根据图形之间的面积，最后求出M∩N的图形面积．

解答 解：如图示：
建立坐标系：M为直线y=x-1和y=x-3之间的点的集合（含线上的点），设P点的坐标为（x，y）
则可将PA≥$\sqrt{2}$PB表示成：$\sqrt{{（x+1）}^{2}{+y}^{2}}$≥$\sqrt{2}$•$\sqrt{{（x-1）}^{2}{+y}^{2}}$，
∴（x+1）²+y²≥2[（x-1）²+y²]，
∴（x-3）²+y² ≤8，
即N集合为以（3，0）为中心，半径为2$\sqrt{2}$的圆内的点的集合，
则直线y=x-3经过圆心F，
过圆心F做FE⊥CD，垂足为E，
联立方程组得到 $\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{（x-3）}^{2}{+y}^{2}=8}\end{array}\right.$，
解得x=2±$\sqrt{3}$，y=1±$\sqrt{3}$，
则D（2-$\sqrt{3}$，1-$\sqrt{3}$），C（2+$\sqrt{3}$，1+$\sqrt{3}$），
∴|CD|²=（2+$\sqrt{3}$-2+$\sqrt{3}$）²+（1+$\sqrt{3}$-1+$\sqrt{3}$）²=24，即CD=2$\sqrt{6}$，
∴CE=$\frac{1}{2}$CD=$\sqrt{6}$，
在直角三角形CEF中，sinCFE=$\frac{CE}{CF}$=$\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠CFE=60°，
∴∠CFD=120°，
∴S_扇形CFD=$\frac{120}{360}$π×8=$\frac{8}{3}$π，S_△CFD=$\frac{1}{2}$CF•DF•sin120°=$\frac{1}{2}$×8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴S_弓形=S_扇形CFD-S_△CFD=$\frac{8}{3}$π-2$\sqrt{3}$，
∵S_半圆=$\frac{1}{2}$π×8=4π，
∴S_{M∩N的图形}=S_半圆-S_弓形=4π-（$\frac{8}{3}$π-2$\sqrt{3}$）=$\frac{4}{3}$π+2$\sqrt{3}$，
故答案为：$\frac{4}{3}$π+2$\sqrt{3}$．

点评 本题以集合的交集为载体，考查了直线和圆的位置关系，求出三角形，扇形，弓形的面积，属于中档题．