Question

20．已知第一象限的点P（a，b-1）到直线$\sqrt{3}$x+y+1=0的距离等于2，则ab的最大值为（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{4\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 利用点到直线的距离公式、基本不等式的性质即可得出．

解答 解：由题意可得：$\frac{|\sqrt{3}a+b-1+1|}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+1}}$=2，化为$\sqrt{3}a+b=4$，（a，b＞0）．
∴ab=$\frac{1}{\sqrt{3}}•\sqrt{3}a•b$$≤\frac{1}{\sqrt{3}}（\frac{\sqrt{3}a+b}{2}）^{2}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，当且仅当$\sqrt{3}a$=b=2时取等号．
∴ab的最大值为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了点到直线的距离公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．