Question

已知圆C：x²＋y²＋2x－4y＋3＝0．
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；
(2)从圆C外一点P(x₁，y₁)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．

Answer 1

（1）y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0
（2）

(1)将圆C配方得：(x＋1)²＋(y－2)²＝2．
①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx，由直线与圆相切得：y＝(2±)x．
②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y－a＝0，由直线与圆相切得：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．故切线方程为y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．
(2)由|PO|＝|PM|，得：
x₁²＋y₁²＝(x₁＋1)²＋(y₁－2)²－2⇒2x₁－4y₁＋3＝0．即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上，当|PM|取最小值时即|OP|取得最小值，直线OP⊥l．
∴直线OP的方程为：2x＋y＝0．
解方程组
得P点坐标为．