Question

某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1、2、3、4、5．现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：

X	1	2	3	4	5
f	a	0.2	0.45	b	c

（1）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有4件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值；
（2）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x₁，x₂，x₃，等级系数为5的2件日用品记为y₁，y₂，现从x₁，x₂，x₃，y₁，y₂，这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求选取的两件日用品中恰有一件等级系数为4的概率．

Answer 1

解：（1）由频率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1，即a+b+c=0.35，
因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有4件，
所以，…（2分）
等级系数为5的恰有2件，所以，…（4分）
从而a=0.35-b-c=0.05，
所以a=0.05，b=0.2，c=0.1．…（6分）
（2）从日用品x₁，x₂，y₁，y₂中任取两件，所有可能的结果为：{x₁，x₂}，{x₁，x₃}，{x₁，y₁}，
{x₁，y₂}，{x₂，x₃}，{x₂，y₁}，{x₂，y₂}，{x₃，y₁}，{x₃，y₂}，{y₁，y₂}共10个…（10分）
设事件A表示“从日用品x₁，x₂，x₃，y₁，y₂中任取两件，其中恰有一件等级为4”，
则A包含的基本事件为：{x₁，y₁}，{x₁，y₂}，{x₂，y₁}，{x₂，y₂}，{x₃，y₁}，{x₃，y₂}共6个，
故所求的概率．…（12分）
分析：（1）由频率分布表可得a+b+c=0.35，，，进而可得a值；
（2）列举出所有可能的结果，找出其中恰有一件等级为4包含的基本事件数，可得结果．
点评：本题考查古典概型的求解，正确列举是解决问题的关键，属基础题．