Question

已知圆C：x²+（y-1）²=5，直线l：mx-y+1-m=0
（1）求证：对m∈R，直线l与C总有两个不同的交点；
（2）设l与C交于A、B两点，若|AB|=

17

，求l的方程；
（3）若l与圆C交于A、B两点且以AB为直径的圆过坐标原点，求直线l的方程．

Answer 1

分析：由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径r，
（1）利用两点间的距离公式求出（1，1）到圆心的距离d，判断得到d小于半径r，得到（1，1）在圆内，而直线l恒过（1，1），故对于任意的实数m，直线l与C总有两个不同的交点；
（2）利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，由弦长|AB|的一半，d，及圆的半径列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，进而确定出直线l的方程；
（3）由l与圆C交于A、B两点且以AB为直径的圆过坐标原点，根据直径所对的圆周角为直角，可得直线OA与直线OB垂直，即两直线斜率的乘积为-1，设出A和B的坐标，将直线l与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出x₁x₂，同理消去x得到关于y的一元二次方程，利用韦达定理表示出y₁y₂，由斜率乘积为-1，得到的x₁x₂+y₁y₂=0，将表示出的x₁x₂和y₁y₂代入，得到关于m的方程，由根的判别式得到方程无解，即不存在m使l与圆C交于A、B两点且以AB为直径的圆过坐标原点，即直线l的方程无解．

解答：解：由圆的方程，得到圆心C坐标为（0，1），半径r=

5

，
（1）∵直线l：mx-y+1-m=0变形得：m（x-1）=y-1，
∴直线l恒过（1，1），
∵（1，1）到圆心的距离d=

(1-0)2+(1-1)2

=1＜

5

，
∴此点在圆内，
∴对m∈R，直线l与C总有两个不同的交点；
（2）∵圆心到直线l的距离d=

|m|

1+m2

，弦长|AB|=

17

，且r=

5

，
∴|AB|=2

r2-d2

，即17=4（5-

m2

1+m2

），
整理得：3（1+m²）=4m²，即m²=3，
解得：m=

3

，或m=-

3

，
则直线l的方程为

3

x-y+1-

3

=0或

3

x+y-1+

3

=0；
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线l与圆的方程联立得：

x2+(y-1)2=5① mx-y+1-m=0②

，
由②得：y=mx+1-m，
代入①消去y得：x²+（mx+1-m-1）²=5，
整理得：（1+m²）x²-2m²x+m²-5=0，
∴x₁x₂=

m2-5

1+m2

，
由②得：x=

y+m-1

m

，
代入①消去x得：

(y+m-1)2

m2

+（y-1）²=5，
整理得：（1+m²）y²+2（m-1-m²）y-3m²-2m+1=0，
∴y₁y₂=

-3m2-2m+1

1+m2

，
又以AB为直径的圆过坐标原点，
∴∠AOB=90°，
∴k_直线AO•k_直线BO=-1，即

y1y2

x1x2

=-1，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即

m2-5

1+m2

+

-3m2-2m+1

1+m2

=

-2m2-2m-4

1+m2

=0，
∴m²+m+2=0，
∵△=1-8=-7＜0，
∴此方程无解，
则不存在m使直线l与圆C交于A、B两点且以AB为直径的圆过坐标原点．即满足题意的直线l方程不存在．

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：两点间的距离公式，点到直线的距离公式，圆的标准方程，垂径定理，勾股定理，以及恒过定点的直线方程，直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，利用弦长的一半，圆的半径以及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．