Question

15．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线上一点．△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为$\frac{9π}{4}$．
 （I）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）点M在x轴的正半轴上，且不与点F重合．动点A在抛物线C上，且不过点O．试问：点M在什么范围之内的时候，∠FAM恒为锐角？

Answer 1

分析 （I）根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值，即可求抛物线C的方程；
（Ⅱ）$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AF}$=（m-x）（1-x）+y²=x²+（3-m）x+m＞0对x≥0都成立令f（x）=（m-x）（1-x）+y²=x²+（3-m）x+m＞对x≥0都成立，分类讨论，即可得出结论．

解答 解：（I）∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，
∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径
∵圆面积为$\frac{9π}{4}$，∴圆的半径为$\frac{3}{2}$，
又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=$\frac{p}{2}$，
∴$\frac{p}{2}$+$\frac{p}{4}$=$\frac{3}{2}$
∴p=2，
∴抛物线C的方程为y²=4x；
（Ⅱ）设A（x，y），M（m，0）（m＞0）
根据题意：∠MAF为锐角，可得$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AF}$＞0且m≠1，
∵$\overrightarrow{AM}$=（m-x，-y），$\overrightarrow{AF}$=（1-x，-y），
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AF}$=（m-x）（1-x）+y²=x²+（3-m）x+m＞0对x≥0都成立
令f（x）=（m-x）（1-x）+y²=x²+（3-m）x+m＞对x≥0都成立
（i）若$\frac{m-3}{2}$≥0，即m≥3时，只要使m-（$\frac{3-m}{2}$）²＞0成立，∴1＜m＜9
∴3≤m＜9．
（ii）若$\frac{m-3}{2}$＜0，即m＜3，只要使m＞0，∴0＜m＜3．
由（i）（ii）得m的取值范围是0＜m＜9且m≠1．

点评 本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查了抛物线的标准方程、抛物线的简单性质，同时考查了向量的数量积，考查了计算能力．