Question

20．已知函数f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]．
（1）当a=-1时，求函数f（x）的最大值和最小值．
（2）当a∈R时，求函数f（x）在区间[-5，5]上的最值．

Answer 1

分析 （1）直接将a=-1代入函数解析式，求出最大最小值，（2）先求出函数的对称轴，通过讨论对称轴的位置，得到函数的单调性，从而求出函数的最值．

解答 解：（1）当a=-1时，f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，对称轴x=1，
在[-5，5]上，最大值为f（-5）=37，最小值为f（1）=1；
（2）函数f（x）的对称轴是：x=-a，
①当-a≤-5，即a≥5时，f（x）在[-5，5]递增，
f（x）_最小值=f（-5）=-10a+27，f（x）_最大值=f（5）=10a+27；
②当-5＜-a≤0，即0≤a＜5时，
f（x）在[-5，-a）递减，在（-a，5]递增，
f（x）_最小值=f（-a）=-a²+2，f（x）_最大值=f（5）=10a+27；
③当0＜-a≤5，即-5≤a＜0时，
f（x）在[-5，-a）递减，在（-a，5]递增，
f（x）_最小值=f（-a）=-a²+2，f（x）_最大值=f（-5）=-10a+27；
④-a≥5，即a≤-5时，f（x）在[-5，5]递减，
f（x）_最小值=f（5）=10a+27，f（x）_最大值=f（-5）=-10a+27．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题．