Question

11．设函数f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+\sqrt{2}}$，则S_n=f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n}{n}$）（n∈N^*）=$\frac{n}{2}$-$\sqrt{2}$+$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 通过f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+\sqrt{2}}$，计算可知f（$\frac{i}{n}$）+f（$\frac{n-i}{n}$）=1，利用2S_n=[f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{n-1}{n}$）]+[f（$\frac{2}{n}$）+f（$\frac{n-2}{n}$）]+…+[f（$\frac{n-1}{n}$）+f（$\frac{1}{n}$）]+2f（1）计算即得结论．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+\sqrt{2}}$，
∴f（$\frac{i}{n}$）=$\frac{{2}^{\frac{i}{n}}}{{2}^{\frac{i}{n}}+\sqrt{2}}$，f（$\frac{n-i}{n}$）=$\frac{{2}^{\frac{n-i}{n}}}{{2}^{\frac{n-i}{n}}+\sqrt{2}}$，
∴f（$\frac{i}{n}$）+f（$\frac{n-i}{n}$）=$\frac{{2}^{\frac{i}{n}}}{{2}^{\frac{i}{n}}+\sqrt{2}}$+$\frac{{2}^{\frac{n-i}{n}}}{{2}^{\frac{n-i}{n}}+\sqrt{2}}$
=$\frac{{2}^{\frac{i}{n}}（{2}^{\frac{n-i}{n}}+\sqrt{2}）+{2}^{\frac{n-i}{n}}（{2}^{\frac{i}{n}}+\sqrt{2}）}{（{2}^{\frac{i}{n}}+\sqrt{2}）（{2}^{\frac{n-i}{n}}+\sqrt{2}）}$
=$\frac{2+\sqrt{2}•{2}^{\frac{i}{n}}+2+\sqrt{2}•{2}^{\frac{n-i}{n}}}{2+\sqrt{2}（{2}^{\frac{i}{n}}+{2}^{\frac{n-i}{n}}）+2}$
=1，
∴2S_n=[f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n}{n}$）]+[f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n}{n}$）]
=[f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{n-1}{n}$）]+[f（$\frac{2}{n}$）+f（$\frac{n-2}{n}$）]+…+[f（$\frac{n-1}{n}$）+f（$\frac{1}{n}$）]+2f（1）
=n-1+2•$\frac{2}{2+\sqrt{2}}$
=n-1+2（2-$\sqrt{2}$）
=n-2$\sqrt{2}$+3，
∴S_n=$\frac{n}{2}$-$\sqrt{2}$+$\frac{3}{2}$，
故答案为：$\frac{n}{2}$-$\sqrt{2}$+$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查数列的求和，利用f（$\frac{i}{n}$）+f（$\frac{n-i}{n}$）=1是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．