Question

已知数列{a_n}满足a_n+1=-a_n²+pa_n（p∈R），且a₁∈（0，2）．试猜想p的最小值，使得a_n∈（0，2）对n∈N^*恒成立，并给出证明．

Answer 1

当n=1时，a₂=-a₁²+pa₁=a₁（-a₁+p），因为a₁∈（0，2），所以欲a₂∈（0，2）恒成立，
则要

p＞a1 p＜a1+ 2 a1

恒成立，解得2≤p＜2

2

，由此猜想p的最小值为2．（4分）
因为p≥2，所以要证该猜想成立，只要证：当p=2时，a_n∈（0，2）对n∈N^*恒成立．（5分）
现用数学归纳法证明之：
①当n=1时结论显然成立．（6分）
②假设当n=k时结论成立，即a_k∈（0，2），
则当n=k+1时，a_k+1=-a_k²+2a_k=a_k（2-a_k），
一方面，a_k+1=a_k（2-a_k）＞0成立，（8分）
另一方面，a_k+1=a_k（2-a_k）=-（a_k-1）²+1≤1＜2，所以a_k+1∈（0，2），
即当n=k+1时结论也成立．（9分）
由①、②可知，猜想成立，即p的最小值为2．（10分）