Question

11．已知点M（x，y）在运动过程中，总满足关系式$\sqrt{{x}^{2}+（y+3）^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}$=10．
（1）直接写出点M的轨迹是什么曲线，并求该曲线的标准方程；
（2）若直线y=$\frac{5}{4}$x+m与点M的轨迹相交于A、B两点，且△OAB的面积为8（O为坐标原点），求常数m的值．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的定义即可得出；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线方程与椭圆方程联立化为：25x²+20mx+8m²-200=0，△＞0，解得m²＜50．利用根与系数的关系可得|AB|=$\sqrt{（1+\frac{25}{16}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$．点O到直线AB的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+\frac{25}{16}}}$．利用S_△OAB=$\frac{1}{2}d$|AB|=8，解出即可．

解答 解：（1）∵点M（x，y）在运动过程中，满足关系式$\sqrt{{x}^{2}+（y+3）^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}$=10．
∴点M到两个定点F₁（0，-3），F₂（0，3）的距离之和为定值10，且10＞|F₁F₂|=6．
∴该曲线为椭圆，其标准方程为$\frac{{y}^{2}}{25}+\frac{{x}^{2}}{16}$=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{5}{4}x+m}\\{\frac{{y}^{2}}{25}+\frac{{x}^{2}}{16}=1}\end{array}\right.$，化为：25x²+20mx+8m²-200=0，
△=400m²-100（8m²-200）＞0，解得m²＜50．
∴x₁+x₂=-$\frac{4m}{5}$，x₁x₂=$\frac{8{m}^{2}-200}{25}$．
∴|AB|=$\sqrt{（1+\frac{25}{16}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{（1+\frac{25}{16}）[\frac{16{m}^{2}}{25}-\frac{4（8{m}^{2}-200）}{25}]}$=$\frac{4\sqrt{50-{m}^{2}}}{5}$•$\sqrt{1+\frac{25}{16}}$．
点O到直线AB的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+\frac{25}{16}}}$．
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}d$|AB|=$\frac{2\sqrt{50-{m}^{2}}|m|}{5}$=8，
解得m=$±2\sqrt{10}$，$±\sqrt{10}$．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、三角形面积计算公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．