Question

13．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD=CD=2AB=2，E，F分别为PC，CD的中点．
（1）证明：AB⊥平面BEF；
（2）若$PA=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，求二面角E-BD-C的大小；
（ 3）求点C到平面DEB的距离．

Answer 1

分析 （1）证明AB⊥BF．推出平面PAD⊥平面ABCD，证明AB⊥PD，AB⊥EF．然后证明AB⊥平面BEF．
（2）以A为原点，以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴正向建立空间直角坐标系，求出平面CDB的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（0，0，1），平面EBD的法向量，设二面角E-BD-C的大小为θ，利用空间向量的数量积求解即可．
（3）由（2）知$\overrightarrow{n_2}=（{2，1，-\sqrt{5}}）$，然后求解点C到平面DEB的距离．

解答 解：（1）证：由已知DF∥AB且∠DAB为直角，故ABFD是矩形，
从而AB⊥BF．
又PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，
∵AB⊥AD，故AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD，
在△PCD内，E、F分别是PC、CD的中点，EF∥PD，∴AB⊥EF．
由此得AB⊥平面BEF…（4分）
（2）以A为原点，以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴正向建立空间直角坐标系，
则$\overrightarrow{BD}=（-1，2，0），\overrightarrow{BE}=（0，1，\frac{{\sqrt{5}}}{5}）$
设平面CDB的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（0，0，1），平面EBD的法向量为$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x，y，z），
则  $\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{BE}=0}\end{array}}\right.$$\left\{\begin{array}{l}-x+2y=0\\ y+\frac{{\sqrt{5}z}}{5}=0\end{array}\right.$可取$\overrightarrow{n_2}=（{2，1，-\sqrt{5}}）$
设二面角E-BD-C的大小为θ，则$cosθ=|cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞|=\frac{{|\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}|}}{{|{{\overrightarrow n}_1}|•|\overrightarrow{n_2}|}}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{{1×\sqrt{10}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
所以，$θ=\frac{π}{4}$…（8分）
（3）由（2）知$\overrightarrow{n_2}=（{2，1，-\sqrt{5}}）$，所以，点C到平面DEB的距离为$\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$…（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，二面角的平面角的求法，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．