Question

3．已知当-1≤a≤1时，x²+（a-4）x+4-2a＞0恒成立，则实数x的取值范围是（-∞，1）∪（3，+∞），．

Answer 1

分析 依题意，构造函数g（a）=（x-2）a+x²-4x+4，利用一次函数的单调性质，由$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）＞0}\\{g（1）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-5x+6＞0}\\{{x}^{2}-3x+2＞0}\end{array}\right.$，即可求出a的取值范围．

解答 解：令g（a）=（x-2）a+x²-4x+4，
∵当-1≤a≤1时，x²+（a-4）x+4-2a＞0恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）＞0}\\{g（1）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-5x+6＞0}\\{{x}^{2}-3x+2＞0}\end{array}\right.$，
解得：x＞3，或x＜1．
∴实数x的取值范围是：（-∞，1）∪（3，+∞），
故答案为：（-∞，1）∪（3，+∞）．

点评 本题考查了函数恒成立问题，构造函数g（a）=（x-2）a+x²-4x+4是关键，突出考查等价转化思想与函数方程思想的综合运用，是易错题，难度中档．