Question

18．若函数f（x）=$\frac{1}{2}$（x-1）²+a的定义域和值域都是[1，b]（b＞1），则a+b的值等于（　　）

• A． -2
• B． 2
• C． 4
• D． 2或4

Answer 1

分析 根据二次函数的图象与性质，得出关于a、b的方程组，求出a、b的值即可得到结论．

解答 解：函数f（x）=$\frac{1}{2}$（x-1）²+a的定义域和值域都是[1，b]（b＞1），
且f（x）的对称轴为x=1，
∴函数在[1，b]上单调递增，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=1}\\{f（b）=b}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{{\frac{1}{2}（b-1）}^{2}+1=b}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{{b}^{2}-4b+3=0}\end{array}\right.$，
解得a=1，b=3或b=1（舍去），
∴a=1，b=3；
∴a+b=4．
故选：C．

点评 本题主要考查了二次函数的单调性的应用，根据二次函数的图象和性质是解决本题的关键．