Question

若定义在（0，+∞）上的函数f（x）对任意x，y∈（0，+∞），都有f（x•y）=f（x）+f（y），且当x＞1时f（x）＜0．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性；
（Ⅲ）若f（2）=-1，解不等式f（x-2）+f（x）＞-3．

Answer 1

分析：（I）令x=y=1，代入f（x•y）=f（x）+f（y）即可得到f（1）的方程，解之即可求得f（1）
（II）设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，利用定义法作差，整理后即可证得差的符号，进而由定义得出函数的单调性．
（III）由已知可得，f（8）=f（2）+f（4）=3f（2）=-3，原不等式可转化为f[x（x-2）]＞f（8），结合函数的单调性可得关于x的不等式，可求

解答：解；（I）∵对任意x，y∈（0，+∞），都有f（x•y）=f（x）+f（y）
令x=y=1可得f（1）=2f（1）
∴f（1）=0
（II）函数f（x）在（0，+∞）上单调递减
证明如下：设x₁＞x₂＞0，则

x1

x2

＞1
∵当x＞1时f（x）＜0．
∴f（x₁）=f(

x1

x2

•x2)=f（

x1

x2

）+f（x₂）＜f（x₂）
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减
（III）∵f（2）=-1，f（1）=0，f（x•y）=f（x）+f（y），
∴f（8）=f（2）+f（4）=3f（2）=-3
∵f（x-2）+f（x）＞-3
∴f[x（x-2）]＞f（8）
∵函数f（x）在（0，+∞）上单调递减
∴

x＞0 x-2＞0 x(x-2)＜8

∴2＜x＜4

点评：本题考点是抽象函数及其应用，考查灵活赋值求值的能力以及灵活变形证明函数单调性的能力．