Question

已知：直线AB过圆心O，交⊙O于AB，直线AF交⊙O于AF（不与B重合），直线l与⊙O相切于C，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连接AC． 求证：
（1）∠BAC=∠CAG
（2）AC²=AEAF．

Answer 1

证明：（1）连接BC， ∵AB为⊙O的直径
∴∠ACB=90°∠ECB+∠ACG=90°
∵GC与⊙O相切于C，
∴∠ECB=∠BAC
∴∠BAC+∠ACG=90°
又∵AG⊥CG∠CAG+∠ACG=90°
∴∠BAC=∠CAG
（2）由（1）可知∠EAC=∠CAF，连接CF
∵GE与⊙O相切于C，
∴∠GCF=∠CAF=∠BAC=∠ECB
∵∠AFC=∠GCF+90°，∠ACE=∠ECB+90°
∴∠AFC=∠ACE
∵∠FAC=∠CAE
∴△FAC∽△CAE
∴
∴AC²=AEAF