Question

设P₁（x₁,y₁）, P₁（x₂,y₂）,…, P_n（x_n,y_n）（n≥3,n∈N） 是二次曲线C上的点, 且a₁=², a₂=², …, a_n=²构成了一个公差为d（d≠0） 的等差数列, 其中O是坐标原点. 记S_n=a₁+a₂+…+a_n.

（1）若C的方程为－y²=1,n=3. 点P₁（3,0） 及S₃=162, 求点P₃的坐标；（只需写出一个）

（2）若C的方程为y²=2px（p≠0）. 点P₁（0,0）, 对于给定的自然数n, 证明：（x₁+p）², （x₂+p）², …,（x_n+p）²成等差数列；

（3）若C的方程为（a>b>0）. 点P₁（a,0）, 对于给定的自然数n, 当公差d变化时, 求S_n的最小值.

符号意义	本试卷所用符号	等同于《实验教材》符号
向量坐标	={x,y}	=（x,y）
正切	tg	tan

Answer 1

解：（1） a₁=²=9,由S₃=（a₁+a₃）=162,得a₃=³=99.

由	－y2=1	,得	x=90
	x+y=99		y=9

     ∴点P₃的坐标可以为（3,3）.

（2）对每个自然数k,1≤k≤n,由题意²=（k－1）d,及

y=2pxk	,得x+2pxk=（k－1）d
x+y=（k－1）d

即（x_k+p）²=p²+（k－1）d,

   ∴（x₁+p）², （x₂+p）², …,（x_n+p）²是首项为p²,公差为d的等差数列.

 （3） 解法一：原点O到二次曲线C:（a>b>0）上各点的最小距离为b,最大距离为a.

    ∵a₁=²=a², ∴d<0,且a_n=²=a²+（n－1）d≥b²,

    ∴≤d<0. ∵n≥3,>0

    ∴S_n=na²+d在[,0）上递增,

  故S_n的最小值为na²+?=.

  解法二：对每个自然数k（2≤k≤n）,

        

由	x+y=a2+（k－1）d	,解得y=
	+=1

∵0< y≤b²,得≤d<0     ∴≤d<0    以下与解法一相同.