【题目】已知函数(其中e为自然对数的底).
(1)若在上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)若,证明:存在唯一的极小值点,且.
【答案】(1);(2)证明见解析
【解析】
(1)求导得,则在时恒成立,不等式可转化为,求出的最小值,令即可;
(2)时,,求出导函数,可知单调递增,令,易证,从而可证明存在唯一的极小值点,再结合,可得到和,从而可得到的表达式,结合,求出的取值范围即可.
(1)由题意,,则在时恒成立,即在时恒成立,
令,则,显然在上单调递增,则,所以只需,即满足在时恒成立,
故实数a的取值范围是.
(2),则,其定义域为,
求导得,显然是上的增函数,
,因为,所以,即,
,因为,所以,即,
令,则在上有唯一零点,且,
故时,单调递减,时,单调递增,所以存在唯一的极小值点.
因为,所以,两边取对数得,即,
故,,
构造函数,,
显然在上单调递减,所以,
又,,故,即.
所以存在唯一的极小值点,且.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校高三4班有50名学生进行了一场投篮测试,其中男生30人,女生20人.为了了解其投篮成绩,甲、乙两人分别都对全班的学生进行编号(1-50号),并以不同的方法进行数据抽样,其中一人用的是系统抽样,另一人用的是分层抽样.若此次投篮测试的成绩大于或等于80分视为优秀,小于80分视为不优秀,以下是甲、乙两人分别抽取的样本数据:
甲抽取的样本数据
编号 | 2 | 7 | 12 | 17 | 22 | 27 | 32 | 37 | 42 | 47 |
性别 | 男 | 女 | 男 | 男 | 女 | 男 | 女 | 男 | 女 | 女 |
投篮成 绩 | 90 | 60 | 75 | 80 | 83 | 85 | 75 | 80 | 70 | 60 |
乙抽取的样本数据
编号 | 1 | 8 | 10 | 20 | 23 | 28 | 33 | 35 | 43 | 48 |
性别 | 男 | 男 | 男 | 男 | 男 | 男 | 女 | 女 | 女 | 女 |
投篮成 绩 | 95 | 85 | 85 | 70 | 70 | 80 | 60 | 65 | 70 | 60 |
(Ⅰ)在乙抽取的样本中任取3人,记投篮优秀的学生人数为,求的分布列和数学期望.
(Ⅱ)请你根据乙抽取的样本数据完成下列2×2列联表,判断是否有95%以上的把握认为投篮成绩和性别有关?
优秀 | 非优秀 | 合计 | |
男 | |||
女 | |||
合计 | 10 |
(Ⅲ)判断甲、乙各用何种抽样方法,并根据(Ⅱ)的结论判断哪种抽样方法更优?说明理由.
下面的临界值表供参考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式:,其中)
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【题目】已知椭圆的离心率为,右焦点为,左顶点为A,右顶点B在直线上.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设点P是椭圆C上异于A,B的点,直线交直线于点,当点运动时,判断以为直径的圆与直线PF的位置关系,并加以证明.
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【题目】已知曲线上任意一点到直线:的距离是它到点距离的2倍;曲线是以原点为顶点,为焦点的抛物线.
(1)求,的方程;
(2)设过点的动直线与曲线相交于,两点,分别以,为切点引曲线的两条切线,,设,相交于点.连接的直线交曲线于,两点.
(i)求证:;
(ii)求的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如图所示,它的外框是一个等腰梯形PQRS,内部是一段抛物线和一根横梁,抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点O,梯形的腰紧靠在抛物线上,两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点A,B,抛物线与梯形下底的两个焊接点为C,D,已知梯形的高是40厘米,C,D两点间的距离为40厘米.
(1)求横梁AB的长度;
(2)求梯形外框的用料长度;
(注:细钢管的粗细等因素忽略不计,结果精确到1厘米)
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【题目】在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数,为直线的倾斜角),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)写出曲线的直角坐标方程,并求时直线的普通方程;
(2)直线和曲线交于、两点,点的直角坐标为,求的最大值.
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【题目】如图1,在△中, , 分别为, 的中点, 为的中点, , .将△沿折起到△的位置,使得平面平面, 为的中点,如图2.
(1)求证: 平面;
(2)求证:平面平面;
(3)线段上是否存在点,使得平面?说明理由.
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