Question

斜率为1的直线l与椭圆

x2

4

+y²=1相交于A，B两点，则|AB|得最大值为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的应用

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出直线的方程，代入椭圆方程中消去y，根据判别式大于0求得t的范围，进而利用弦长公式求得|AB|的表达式，利用t的范围求得|AB|的最大值．

解答： 解：设直线l的方程为y=x+t，代入椭圆

x2

4

+y²=1消去y得

5

4

x²+2tx+t²-1=0，
由题意得△=（2t）²-5（t²-1）＞0，即t²＜5．
弦长|AB|=4

2

×

5-t2

5

≤

4 10

5

．当t=0时取最大值．
故答案为：

4 10

5

．

点评：本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系．常需要把直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，判别式找到解决问题的突破口．