Question

13．若定义域为R的函数f（x）满足：对任意两个不相等的实数x₁，x₂，都有$\frac{{{x_2}f（{x_1}）-{x_1}f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＜0$，记：a=4f（0.25），b=0.5f（2），c=0.2f（5），则（　　）

• A． a＞b＞c
• B． c＞a＞b
• C． b＞a＞c
• D． c＞b＞a

Answer 1

分析 ∴对任意两个不等的正实数x₁，x₂，都有$\frac{{x}_{1}{x}_{2}（\frac{1}{{x}_{1}}f（{x}_{1}）-\frac{1}{{x}_{2}}f（{x}_{2}））}{{x}_{1}-{x}_{2}}＜0$⇒$\frac{\frac{1}{{x}_{1}}f（{x}_{1}）-\frac{1}{{x}_{2}}f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}＜0$，令g（x）=$\frac{1}{x}f（x）$，易得g（x）在（0，+∞）上递减即可．

解答 解：定义域为R的函数f（x）满足：对任意两个不等的实数x₁，x₂，都有$\frac{{{x_2}f（{x_1}）-{x_1}f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＜0$，
∴对任意两个不等的正实数x₁，x₂，都有$\frac{{x}_{1}{x}_{2}（\frac{1}{{x}_{1}}f（{x}_{1}）-\frac{1}{{x}_{2}}f（{x}_{2}））}{{x}_{1}-{x}_{2}}＜0$⇒$\frac{\frac{1}{{x}_{1}}f（{x}_{1}）-\frac{1}{{x}_{2}}f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}＜0$，
令g（x）=$\frac{1}{x}f（x）$，易得g（x）在（0，+∞）上递减，a=4f（0.25）=g（0.25），b=0.5f（2）=g（2），c=0.2f（5）=g（5），
∴g（0.25）＞g（2）＞g（5），⇒a＞b＞c．故选：A．

点评 本题考查了构造新函数，函数的单调性的运用，属于基础题．