【题目】已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)的单调递减区间是
,单调递增区间是
.(2)
【解析】试题分析:(Ⅰ)函数求导,定义域为
,由
,可得
或
进而讨论导函数的正负得函数单调性即可;
(Ⅱ)若恒成立,只需
即可,讨论函数单调性求最值即可.
试题解析:
(Ⅰ)函数的定义域为
,
.
由,可得
或
,
当时,
在
上恒成立,
所以的单调递增区间是
,没有单调递减区间;
当时,
的变化情况如下表:
所以的单调递减区间是
,单调递增区间是
.
当时,
的变化情况如下表:
所以的单调递减区间是
,单调递增区间是
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当时,
,符合题意.
当时,
的单调递减区间是
,单调递增区间是
,
所以恒成立等价于
,即
,
所以,所以
.
当时,
的单调递减区间是
,单调递增区间是
,
所以恒成立等价于
,即
.
所以,所以
.
综上所述,实数的取值范围是
.
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【题目】设椭圆的左、右焦点分别为
,
,下顶点为
,
为坐标原点,点
到直线
的距离为
,
为等腰直角三角形.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)直线与椭圆
交于
,
两点,若直线
与直线
的斜率之和为
,证明:直线
恒过定点,并求出该定点的坐标.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆两焦点坐标为,
,椭圆
上的点到右焦点距离最小值为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设斜率为-2的直线交曲线于
、
两点,求线段
的中点
的轨迹方程;
(3)设经过点的直线与曲线
相交所得的弦为线段
,求
的面积的最大值(
是坐标原点).
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【题目】某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准,现选择15名志愿者,对其身高和臂展进行测量(单位:厘米),左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图,右图为身高与臂展所对应的散点图,并求得其回归方程为,以下结论中不正确的为
A. 15名志愿者身高的极差小于臂展的极差
B. 15名志愿者身高和臂展成正相关关系,
C. 可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米,
D. 身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米,
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【题目】根据下列条件分别求出直线l的方程.
(1)直线l经过A(4,1),且横、纵截距相等;
(2)直线l平行于直线3x+4y+17=0,并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24.
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【题目】下列四个命题:①任意两条直线都可以确定一个平面;②若两个平面有3个不同的公共点,则这两个平面重合;③直线a,b,c,若a与b共面,b与c共面,则a与c共面;④若直线l上有一点在平面α外,则l在平面α外.其中错误命题的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】已知点A(0,-2),椭圆E: (a>b>0)的离心率为
,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为
,O为坐标原点.
(1)求E的方程;
(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当△OPQ的面积最大时,求l的方程.
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