【题目】设椭圆的左、右焦点分别为
,
,下顶点为
,
为坐标原点,点
到直线
的距离为
,
为等腰直角三角形.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)直线与椭圆
交于
,
两点,若直线
与直线
的斜率之和为
,证明:直线
恒过定点,并求出该定点的坐标.
【答案】(1);(2)见解析
【解析】
(1)利用表示出点
到直线
的距离;再利用
和
的关系得到方程,求解得到标准方程;(2)当直线
斜率存在时,假设直线方程,利用斜率之和为
得到
与
的关系,将直线方程化为
,从而得到定点;当斜率不存在时,发现直线也过该定点,从而求得结果.
(1)解:由题意可知:直线的方程为
,即
则
因为为等腰直角三角形,所以
又
可解得,
,
所以椭圆的标准方程为
(2)证明:由(1)知
当直线的斜率存在时,设直线
的方程为
代入,得
所以,即
设,
,则
,
因为直线与直线
的斜率之和为
所以
整理得
所以直线的方程为
显然直线经过定点
当直线的斜率不存在时,设直线
的方程为
因为直线与直线的斜率之和为
,设
,则
所以,解得
此时直线的方程为
显然直线也经过该定点
综上,直线恒过点
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,圆
的参数方程为
(
为参数),过点
作斜率为
的直线
与圆
交于
,
两点.
(1)若圆心到直线
的距离为
,求
的值;
(2)求线段中点
的轨迹方程.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在数学建模课上,老师给大家带来了一则新闻:“2019年8月16日上午,423米的东莞第一高楼民盈国贸中心2号楼(以下简称“国贸中心”)正式封顶,随着最后一方混凝土浇筑到位,标志着东莞最高楼纪录诞生,由东莞本地航母级企业民盈集团刷新了东莞天际线,比之前的东莞第一高楼台商大厦高出134米.”在同学们的惊叹中,老师提出了问题:国贸中心真有这么高吗?我们能否运用所学知识测量验证一下?一周后,两个兴趣小组分享了他们各自的测量方案.
第一小组采用的是“两次测角法”:他们在国贸中心隔壁的会展中心广场上的点测得国贸中心顶部的仰角为
,正对国贸中心前进了
米后,到达
点,在
点测得国贸中心顶部的仰角为
,然后计算出国贸中心的高度(如图).
第二小组采用的是“镜面反射法”:在国贸中心后面的新世纪豪园一幢11层楼(与国贸中心处于同一水平面,每层约3米)楼顶天台上,进行两个操作步骤:①将平面镜置于天台地面上,人后退至从镜中能看到国贸大厦的顶部位置,测量出人与镜子的距离为米;②正对国贸中心,将镜子前移
米,重复①中的操作,测量出人与镜子的距离为
米.然后计算出国贸中心的高度(如图).
实际操作中,第一小组测得米,
,
,最终算得国贸中心高度为
;第二小组测得
米,
米,
米,最终算得国贸中心高度为
;假设他们测量者的“眼高
”都为
米.
(1)请你用所学知识帮两个小组完成计算(参考数据:,
,答案保留整数结果);
(2)你认为哪个小组的方案更好,说出你的理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,曲线
为
(
为参数).在以
为原点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
的极坐标方程为
,射线
与
除极点外的一个交点为
,设直线
经过点
,且倾斜角为
,直线
与曲线
的两个交点为
.
(1)求的普通方程和
的直角坐标方程;
(2)求的值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】军训时,甲、乙两名同学进行射击比赛,共比赛10场,每场比赛各射击四次,且用每场击中环数之和作为该场比赛的成绩.数学老师将甲、乙两名同学的10场比赛成绩绘成如图所示的茎叶图,并给出下列4个结论:(1)甲的平均成绩比乙的平均成绩高;(2)甲的成绩的极差是29;(3)乙的成绩的众数是21;(4)乙的成绩的中位数是18.则这4个结论中,正确结论的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,
表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
(Ⅰ)求的分布列;
(Ⅱ)若要求,确定
的最小值;
(Ⅲ)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在与
之中选其一,应选用哪个?
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】下列命题中正确的是( )
A.是空间中的四点,若
不能构成空间基底,则
共面
B.已知为空间的一个基底,若
,则
也是空间的基底
C.若直线的方向向量为
,平面
的法向量为
,则直线
D.若直线的方向向量为
,平面
的法向量为
,则直线
与平面
所成角的正弦值为
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com