【题目】在数学建模课上,老师给大家带来了一则新闻:“2019年8月16日上午,423米的东莞第一高楼民盈国贸中心2号楼(以下简称“国贸中心”)正式封顶,随着最后一方混凝土浇筑到位,标志着东莞最高楼纪录诞生,由东莞本地航母级企业民盈集团刷新了东莞天际线,比之前的东莞第一高楼台商大厦高出134米.”在同学们的惊叹中,老师提出了问题:国贸中心真有这么高吗?我们能否运用所学知识测量验证一下?一周后,两个兴趣小组分享了他们各自的测量方案.
第一小组采用的是“两次测角法”:他们在国贸中心隔壁的会展中心广场上的点测得国贸中心顶部的仰角为
,正对国贸中心前进了
米后,到达
点,在
点测得国贸中心顶部的仰角为
,然后计算出国贸中心的高度(如图).
第二小组采用的是“镜面反射法”:在国贸中心后面的新世纪豪园一幢11层楼(与国贸中心处于同一水平面,每层约3米)楼顶天台上,进行两个操作步骤:①将平面镜置于天台地面上,人后退至从镜中能看到国贸大厦的顶部位置,测量出人与镜子的距离为米;②正对国贸中心,将镜子前移
米,重复①中的操作,测量出人与镜子的距离为
米.然后计算出国贸中心的高度(如图).
实际操作中,第一小组测得米,
,
,最终算得国贸中心高度为
;第二小组测得
米,
米,
米,最终算得国贸中心高度为
;假设他们测量者的“眼高
”都为
米.
(1)请你用所学知识帮两个小组完成计算(参考数据:,
,答案保留整数结果);
(2)你认为哪个小组的方案更好,说出你的理由.
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】
(1)对于第一小组,利用锐角三角函数解答;第二小组利用三角形相似可求;
(2)从测量难易程度以及数据的误差,对比分析.
解:(1)第一小组:在中得,
;在
中得,
因为即
得米
米
第二小组:,得
同理得,
因为得
所以=
米
所以米
(2)优点:①测量方法较好理解,普适性强;②计算思路简洁;
不足:①的距离较长,测量要求高,难度大;②角度测量较难精准,容易造成误差;③场地要求较高;
第二组方案
优点:①测量方法有创意(用到镜面成像和相似三角形);②相对距离短,比较好测量;③只需测量距离,需要的工具少;
不足:①两次放镜子相对距离太短,容易造成误差;②镜面放置较难保持水平,容易造成误差;③如果镜面较大,人眼看镜内物像时,两次不一定都看准镜面上的同一个点,易造成误差;④人与镜子的距离差值较小,测量容易造成误差
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】我国古代数学家祖暅提出原理:“幂势既同,则积不容异”.其中“幂”是截面积,“势”是几何体的高.该原理的意思是:夹在两个平行平面间的两个几何体,被任一平行于这两个平行平面的平面所截,若所截的两个截面的面积恒相等,则这两个几何体的体积相等.如图,在空间直角坐标系中的平面内,若函数
的图象与
轴围成一个封闭的区域
,将区域
沿
轴的正方向平移8个单位长度,得到几何体如图一,现有一个与之等高的圆柱如图二,其底面积与区域
的面积相等,则此圆柱的体积为__________.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不垂直的是
A. B.
C. D.
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【题目】已知斜率为1的直线与椭圆
交于
,
两点,且线段
的中点为
,椭圆
的上顶点为
.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设直线与椭圆
交于
两点,若直线
与
的斜率之和为2,证明:
过定点.
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【题目】将正分割
成个全等的小正三角形(图1,图2分别给出了
的情形),在每个三角形的顶点各放置一个数,使位于
的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别依次成等差数列,若顶点
处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数的和为
,已知
,则
(用含
的式子表达)__________
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【题目】已知抛物线 :
(
)的焦点为
,点
在抛物线
上,且
,直线
与抛物线
交于
,
两点,
为坐标原点.
(1)求抛物线 的方程;
(2)求 的面积.
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【题目】设椭圆的左、右焦点分别为
,
,下顶点为
,
为坐标原点,点
到直线
的距离为
,
为等腰直角三角形.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)直线与椭圆
交于
,
两点,若直线
与直线
的斜率之和为
,证明:直线
恒过定点,并求出该定点的坐标.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆两焦点坐标为,
,椭圆
上的点到右焦点距离最小值为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设斜率为-2的直线交曲线于
、
两点,求线段
的中点
的轨迹方程;
(3)设经过点的直线与曲线
相交所得的弦为线段
,求
的面积的最大值(
是坐标原点).
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