【题目】(1)当时,不等式
恒成立,求实数
的取值范围;
(2)已知函数,
,如果函数
有两个极值点
、
,求证:
.(参考数据:
,
,
,
为自然对数的底数)
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】
(1)构造函数,其中
,可得
,求出函数
的导数
,构造函数
,分
和
两种情况讨论,结合
可求出实数
的取值范围;
(2)由题意得出,变形得
,利用基本不等式得出
,然后构造函数
,利用导数分析函数
的单调性,证明出
,结合单调性可得出
.
(1)令,其中
,且有
,
,
令,则
.
①当时,即当
时,对任意的
,
,即
,
所以,函数在区间
上为增函数,当
时,
,合乎题意;
②当时,则
或
.
(i)当时,对任意的
,
,即
,
所以,函数在区间
上为增函数,当
时,
,合乎题意;
(ii)当时,设函数
的两个极值点分别为
、
,设
,
由韦达定理得,则必有
,
当时,
,当
时,
.
所以,,不合乎题意.
综上所述,实数的取值范围是
;
(2)若,
则有两个不同的零点
、
.
由题意,相加有
,①
相减有,从而
,
代入①有,
即,
不妨设,则
,由(1)有
.
又,
所以,即
,
设,则
,
在
单调递增,
又,
,
,因此
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知等差数列的前n项和为
,
,公差为
若
,求数列
的通项公式;
是否存在d,n使
成立?若存在,试找出所有满足条件的d,n的值,并求出数列
的通项公式;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】将正分割
成个全等的小正三角形(图1,图2分别给出了
的情形),在每个三角形的顶点各放置一个数,使位于
的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别依次成等差数列,若顶点
处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数的和为
,已知
,则
(用含
的式子表达)__________
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线 :
(
)的焦点为
,点
在抛物线
上,且
,直线
与抛物线
交于
,
两点,
为坐标原点.
(1)求抛物线 的方程;
(2)求 的面积.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)求在区间
上的最小值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
.
【解析】(Ⅰ).
令,得
.
与
的情况如上:
所以,的单调递减区间是
,单调递增区间是
.
(Ⅱ)当,即
时,函数
在
上单调递增,
所以在区间
上的最小值为
.
当,即
时,
由(Ⅰ)知在
上单调递减,在
上单调递增,
所以在区间
上的最小值为
.
当,即
时,函数
在
上单调递减,
所以在区间
上的最小值为
.
综上,当时,
的最小值为
;
当时,
的最小值为
;
当时,
的最小值为
.
【题型】解答题
【结束】
19
【题目】已知抛物线的顶点在原点,焦点在坐标轴上,点
为抛物线
上一点.
(1)求的方程;
(2)若点在
上,过
作
的两弦
与
,若
,求证: 直线
过定点.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设椭圆的左、右焦点分别为
,
,下顶点为
,
为坐标原点,点
到直线
的距离为
,
为等腰直角三角形.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)直线与椭圆
交于
,
两点,若直线
与直线
的斜率之和为
,证明:直线
恒过定点,并求出该定点的坐标.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】世界卫生组织的最新研究报告显示,目前中国近视患者人数多达6亿,高中生和大学生的近视率均已超过七成,为了研究每周累计户外暴露时间(单位:小时)与近视发病率的关系,对某中学一年级200名学生进行不记名问卷调查,得到如下数据:
每周累积户外暴露时间(单位:小时) | 不少于28小时 | ||||
近视人数 | 21 | 39 | 37 | 2 | 1 |
不近视人数 | 3 | 37 | 52 | 5 | 3 |
(1)在每周累计户外暴露时间不少于28小时的4名学生中,随机抽取2名,求其中恰有一名学生不近视的概率;
(2)若每周累计户外暴露时间少于14个小时被认证为“不足够的户外暴露时间”,根据以上数据完成如下列联表,并根据(2)中的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系?
近视 | 不近视 | |
足够的户外暴露时间 | ||
不足够的户外暴露时间 |
附:
P | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准,现选择15名志愿者,对其身高和臂展进行测量(单位:厘米),左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图,右图为身高与臂展所对应的散点图,并求得其回归方程为,以下结论中不正确的为
A. 15名志愿者身高的极差小于臂展的极差
B. 15名志愿者身高和臂展成正相关关系,
C. 可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米,
D. 身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米,
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