Question

已知点P（x，y）在由不等式组

x+y=3≤0 x-y-1≤0 x-1≥0

确定的平面区域内，O为坐标原点，点A（-1，2），则|

OP

|•cos∠AOP的最大值是

 

．

Answer 1

分析：先画出约束条件

x+y=3≤0 x-y-1≤0 x-1≥0

的可行域，再根据点A的坐标及点P的坐标，将|

OP

|•cos∠AOP的值表达为一个关于x，y的式子，即目标函数，然后将可行域中各角点坐标代入目标函数的解析式，比较后可得结果

解答：解：∵|

OP

|•cos∠AOP=

OP • OA

| OA |

=

5

5

(2y-x)，
于是问题转化为求z=2y-x的最大值，
作出可行域如图所示，当直线经过点C（1，2）时，
z=2y-x取得最大值，z_max=2×2-1=3，
从而|

OP

|•cos∠AOP=的最大值为

3

5

5

．
故答案为：

3

5

5

点评：平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．