Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点，
（Ⅰ）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅱ）求二面角B₁-DC-B的平面角的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥C₁-B₁CD的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接C₁B，设CB₁与C₁B的交点为E，连接DE，由四棱柱侧面为平行四边形知E是BC₁的中点，由此能够证明AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅱ）过B作BF⊥CD，垂足为F，连接B₁F，则∠B₁FB为二面角B₁-DC-B的平面角，由此可得结论；
（Ⅲ）三棱锥C₁-B₁CD的体积等于三棱锥D-C₁B₁C的体积，由此可得结论．

解答：（Ⅰ）证明：连接C₁B，设CB₁与C₁B的交点为E，
连接DE，由四棱柱侧面为平行四边形知E是BC₁的中点，
∵D是AB的中点，∴DE∥AC₁，
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅱ）解：过B作BF⊥CD，垂足为F，连接B₁F，则∠B₁FB为二面角B₁-DC-B的平面角
∵AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点，∴由等面积可得

1

2

×

1

2

×3×4=

1

2

×

5

2

×BE
∴BF=

12

5

∵AA₁=4，∴B₁F=

4 34

25

∴二面角B₁-DC-B的平面角的余弦值为

BF

B1F

=

15 34

34

；
（Ⅲ）解：三棱锥C₁-B₁CD的体积等于三棱锥D-C₁B₁C的体积，即

1

3

S△C1B1C•

3

2

=

1

3

×

1

2

×4×4×

3

2

=4．

点评：本题考查直线与平面的垂直的判定，二面角的求法，考查三棱锥体积的计算，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．