Question

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，函数f（x）=

1

2

px2一（p+q）x+qlnx（其中p，q均为常数，且p＞q＞0），当x=a₁时，函数f（x）取得极小值，点（a_n，2S_n）（n∈N*）均在函数y=2px²-

q

x

+f'（x）+q的图象上．（其中f'（x）是函数f（x）的导函数）
（1）求a₁的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）记b_n=

4Sn

n+3

•qn，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）先对函数f（x）进行求导，令其导数为0求得x，进而根据x变化时f'（x）和f（x）的变化情况确定函数f（x）的极小值，求得a₁；
（2）依题意可知点（a_n，2s_n）代入解析式，再由a₁的值求出p，求得2S_n=2a_n²+a_n-1，进而利用a_n=s_n-s_n-1，求得数列的递推式，整理求得a_n-a_n-1-

1

2

=0，推断出数列为等差数列，利用等差数列通项公式求得a_n；
（3）根据题意和（2）结论求出S_n，再求出b_n，根据特点利用错位相减法求出数列{b_n}的前n项和T_n，需要说明q≠1．

解答：解：（1）由题意得，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=px-（p+q）+

q

x

=

px2-(p+q)x+q

x

=

(x-1)(px-q)

x

令f′（x）=0，得x=1或x=

q

p

，
∵p＞q＞0，∴0＜

q

p

＜1，
当x变化时，f'（x）和f（x）的变化情况如下表：

∴f（x）处取得极小值，即a₁=1．
（2）依题意，y=2px2-

q

x

+f′(x)+q=2px²+px-p，
∵点（a_n，2S_n）（n∈N*）均在函数y=2px2-

q

x

+f′(x)+q图象上，
∴2S_n=2p•a_n²+p•a_n-p，
则2a₁=2pa₁²+pa₁-p，由a₁=1求得p=1
∴2S_n=2a_n²+a_n-1
当n≥2时，2S_n-1=2a_n-1²+a_n-1-1
两式相减求得（a_n+a_n+1）（a_n-a_n-1-

1

2

）=0，
∵a_n+a_n+1＞0，∴a_n-a_n-1-

1

2

=0
∴数列{a_n}是以1为首项，

1

2

为公差的等差数列，
∴a_n=1+（n-1）×

1

2

=

n+1

2

，
 （3）由（2）得，2S_n=2a_n²+a_n-1=2×(

n+1

2

)2+

n+1

2

-1，
解得Sn=

n2+3n

4

，∴b_n=

4Sn

n+3

•qn=nqⁿ，
则T_n=1×q¹+2×q²+…+n•qⁿ③
又qT_n=1×q²+2×q³+…+（n-1）•qⁿ+n•qⁿ⁺¹ ④
∵p＞q＞0，且由（2）知p=1，∴q≠1，
③-④得，（1-q）T_n=q¹+q²+q³+…+qⁿ-n•qⁿ⁺¹=

q(1-qn)

1-q

-n•qn+1
∴T_n=

q(1-qn)

(1-q)2

-

nqn+1

1-q

．

点评：本题考查了数列与函数的综合，涉及了函数的导数求极值，数列前n项和与数列通项公式的关系，以及错位相减法求数列的前n项和，考查分析解决问题的能力和运算能力．