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设a∈R,f(x)=cosx(asinx-cosx)+sin2x的定义域是数学公式.给出下列几个命题:
①f(x)在数学公式处取得小值;
数学公式是f(x)的一个单调递减区间;
③f(x)的最大值为2;
④使得f(x)取得最大值的点仅有一个数学公式
其中正确命题的序号是________.(将你认为正确命题的序号都填上)

②③④
分析:利用二倍角公式化简函数f(x),然后由f()=,求出a的值,进一步化简为f(x)=2sin(2x-),然后根据x的范围求出2x-的范围,利用单调性求出函数的最大值和最小值.根据函数单调性及最值即可选出答案.
解答:f(x)=cosx(asinx-cosx)+sin2x=asinxcosx-cos2x+sin2x=sin2x-cos2x,
由f()=,得=,解得a=2
所以f(x)=2sin(2x-),
当x∈[]时,2x-∈[],f(x)是增函数,
当x∈[]时,2x-∈[],f(x)是减函数,
所以函数f(x)在[]上的最大值是:f()=2,
故③正确;
且当f(x)取得最大值的点仅有一个
故④正确;
由上述单调性知:是f(x)的一个单调递减区间,
故②正确;
又f()=,f()=
所以函数f(x)在[]上的最小值为:f()=
故①错误.
故答案为:②③④.
点评:本题是中档题,考查三角函数的化简,二倍角公式的应用,三角函数的求值,函数的单调性、最值,考查计算能力,常考题型.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

设a∈R,f(x)=cosx(asinx-cosx)+cos2(
π
2
-x)
,满足f(-
π
3
)=f(0)

(1)求f(x)的最大值及此时x取值的集合;
(2)求f(x)的增区间.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•杨浦区二模)设a∈R,f(x)=
a•2x-a-2
2x+1
为奇函数.
(1)求实数a的值;
(2)设g(x)=2log2
1+x
k
),若不等式f-1(x)≤g(x)在区间[
1
2
2
3
]上恒成立,求实数k的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•杨浦区二模)设a∈R,f(x)=
a•2x-a-2
2x+1
为奇函数.
(1)求函数F(x)=f(x)+2x-
4
2x+1
-1的零点;
(2)设g(x)=2log2
1+x
k
),若不等式f-1(x)≤g(x)在区间[
1
2
2
3
]上恒成立,求实数k的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•安徽模拟)设a∈R,f(x)=cosx(asinx-cosx)+sin2x的定义域是[
π
4
11
24
π],f(
π
4
)=
3
.给出下列几个命题:
①f(x)在x=
π
4
处取得小值;
[
5
12
π,
11
24
π]
是f(x)的一个单调递减区间;
③f(x)的最大值为2;
④使得f(x)取得最大值的点仅有一个x=
π
3

其中正确命题的序号是
②③④
②③④
.(将你认为正确命题的序号都填上)

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科目:高中数学 来源: 题型:

设a∈R,f(x)=cosx(asinx-cosx)+cos2
π
2
-x)满足f(-
π
3
)=f(0)
,当x∈[
π
4
11π
24
]
时,则f(x)的值域为(  )

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