Question

12．如图，已知梯形ABCD中，AB∥DC，且AB=2CD，E、F分别是DC、AB的中点，设$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow a，\overrightarrow{AB}=\overrightarrow b$，试用$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$为基底表示$\overrightarrow{BC}$、$\overrightarrow{EF}$．

Answer 1

分析 由题意得到四边形DCBF为平行四边形，再根据向量的向量加法以及几何意义，即可求出答案．

解答 解：∵AB∥DC，AB=2CD，E、F分别是DC、AB的中点，∴DC∥FB，DC=FB，
∴四边形DCBF为平行四边形．
∴$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{FD}=\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a-\frac{1}{2}\overrightarrow b$，
$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DF}-\overrightarrow{DE}=-\overrightarrow{FD}-\overrightarrow{DE}=-\overrightarrow{BC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow a+\frac{1}{2}\overrightarrow b-\frac{1}{4}\overrightarrow b=\frac{1}{4}\overrightarrow b-\overrightarrow a$．

点评 本题考查了向量加法以及几何意义的应用，主要是结合图形和题意对向量进行转化，即用已知向量来表示未知向量．