Question

已知函数f（x）=，直线l：9x+2y+c=0．
（1）求证：直线l与函数y=f（x）的图象不相切；
（2）若当x∈[-2，2]时，函数f（x）的图象在直线l的下方，求c的范围．

Answer 1

证明：（1）f′（x）=x²-2x-3=（x-1）²-4≥-4
故函数y=f（x）的图象上任意一点的切线的斜率均不小于-4
而直线l：
所以直线l与y=f（x）的图象不相切．
（2）当x∈[-2，2]时，函数y=f（x）的图象在直线l的下方
即对一切x∈[-2，2]都成立对一切x∈[-2，2]都成立
令
g′（x）=-2x²+4x-3=-2（x-1）²-1＜0
g（x）在∈[-2，2]上单调递减故当x∈[-2，2]时，[g（x）]_min=g（2）=-6
因此c＜-6，即c的范围是（-∞，-6）
分析：（1）先求导数得f′（x）=x²-2x-3=（x-1）²-4≥-4，得出函数y=f（x）的图象上任意一点的切线的斜率均不小于-4
而直线l的斜率小于4，所以直线l与y=f（x）的图象不相切．
（2）先根据题意得到不等式 ，然后转化为 成立，即求在闭区间上的最小值问题；先对函数g（x）=求导判断单调性，即可求出最小值，进而得到答案．
点评：本题主要考查函数的求导运算、闭区间上的恒成立问题．闭区间上的恒成立问题一般都是转化为求最值，即使参数大于最大值或小于最小值的问题．