Question

设函数f（x）=

3

sin2x+2cos²x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）根据二倍角的三角函数公式和辅助角公式，将函数表达式化简得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，再由三角函数的周期公式即可算出函数f（x）的最小正周期；
（2）根据正弦函数的图象与性质，令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ解出-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ（k∈Z），由此可得函数f（x）的单调递增区间．

解答：解：（1）∵2cos²x=1+cos2x，
∴f（x）=

3

sin2x+cos2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1
∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（1）由（1）得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ（k∈Z），
∴函数f（x）的单调递增区间是[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，（k∈Z）．

点评：本题给出三角函数表达式，求它的最小正周期和单调增区间．着重考查了三角恒等变换公式和三角函数的图象与性质等知识点，属于中档题．