Question

若f（x）=x²-x+b，且f（log₂a）=b，log₂f（a）=2（a＞0且a≠1），
（1）求f（log₂x）的最小值及相应 x的值；
（2）若f（log₂x）＞f（1）且log₂f（x）＜f（1），求由x的值组成的集合．

Answer 1

分析：（1）由题意，先由f（log₂a）=b，log₂f（a）=2（a＞0且a≠1），解出a，b的值，得到f（x）的解析式，再由f（log₂x）的形式选择配方法求得它的最小值及相应的x的值；
（2）由题意f（log₂x）＞f（1）且log₂f（x）＜f（1），解此两不等式即可得到x的值组成的集合．

解答：解：（1）由题意f（x）=x²-x+b
∴f（log₂a）=（log₂a）²-log₂a+b=b
解得log₂a=1，即可得a=2
又log₂f（a）=2，得f（a）=4
∴a²-a+b=4，将a=2代入，解得b=2
∴f（x）=x²-x+2
∴f（log₂x）=（log₂x）²-log₂x+2=（log₂x-

1

2

）²+

7

4

∴当log₂x=

1

2

，即x=

2

时，f（log₂x）的最小值是

7

4

答：f（log₂x）的最小值是

7

4

，相应 x的值x=

2

（2）由题意知

(log2x)2-log2x+2＞2 log2(x2-x+2)＜2

∴

log2x＜0或log2x＞1 0＜x2-x+2＜4

∴

0＜x＜1或x＞2 -1＜x＜2

∴0＜x＜1
答：由x的值组成的集合是（0，1）

点评：本题考查对数函数图象与性质的综合应用，考查了对数方程的解法，对数不等式的解法及与对数有关的复合函数的最值的求法，涉及到的基本技能较多，解题的关键是熟练掌握对数的单调性及对数的运算，将方程与不等式正确转化求解，属于对数函数有关的综合性较强的题