Question

已知f（x）=-x³+ax，其中a∈R．
（1）若f（x）在（0，1）上是增函数，求a的取值范围；
（2）若g(x)=-

1

2

x

3

2

，且f（x）＜g（x）在（0，1]上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求导函数，将f（x）在（0，1）上是增函数，转化为f'（x）=-3x²+a≥0，对于x∈（0，1）恒成立，分离参数可得a≥3x²恒成立，从而可求a的取值范围；
（2）根据g(x)=-

1

2

x

3

2

，且f（x）＜g（x），从而转化为(x2-

1

2

x

1

2

-a)＞0在（0，1）恒成立，分离参数可得a＜x2-

1

2

x

1

2

在（0，1）恒成立．构造函数h(x)=x2-

1

2

x

1

2

，可知函数在(0，

1

4

)上单调减，在(

1

4

，1)上单调增
，从而h(x)min=h(

1

4

)=-

3

16

，故求a的取值范围．

解答：解：（1）f'（x）=-3x²+a
∵f（x）在（0，1）上是增函数
∴f'（x）=-3x²+a≥0，对于x∈（0，1）恒成立
∴a≥3x²恒成立．
∴a≥3…（6分）
（2）∵g(x)=-

1

2

x

3

2

，且f（x）＜g（x）
∴-x3+ax＜-

1

2

x

3

2

，
∴x(x2-

1

2

x

1

2

-a)＞0，
∴(x2-

1

2

x

1

2

-a)＞0在（0，1）恒成立．…（8分）
∴a＜x2-

1

2

x

1

2

在（0，1）恒成立．
构造函数h(x)=x2-

1

2

x

1

2

则h′(x)=2x-

1

4 x

由h′(x)=0，x=

1

4

…（10分）
函数在(0，

1

4

)上单调减，在(

1

4

，1)上单调增
∴h(x)min=h(

1

4

)=-

3

16

∴a＜-

3

16

…（12分）

点评：本题以函数为载体，考查函数恒成立问题，考查分离参数法求变量的取值范围，解题的关键是分离参数，利用求最值的方法，求参数的取值范围．