Question

（2011•湖北模拟）已知△ABC的三内角A，B，C所对三边分别为a，b，c，且sin（

π

4

+A）=

7 2

10

，0＜A＜

π

4

．
（I）求tanA的值．
（II）若△ABC的面积s=24，b=8求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由A的范围求出A+

π

4

的范围，再由sin（

π

4

+A）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（

π

4

+A）的值，根据A=（

π

4

+A）-

π

4

，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简sinA，把各自的值代入求出sinA的值，再由A的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，进而得到tanA的值；
（II）利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，由已知面积为24，及sinA与b的值，求出c的值，再由b，c及cosA的值，利用余弦定理即可求出a的值．

解答：解：（Ⅰ）∵0＜A＜

π

4

，∴

π

4

＜A+

π

4

＜

π

2

，
又sin（

π

4

+A）=

7 2

10

，∴cos（

π

4

+A）=

1-sin2( π 4 +A)

=

2

10

，…（2分）
∴sinA=sin（

π

4

+A-

π

4

）=sin（

π

4

+A）cos

π

4

-cos（

π

4

+A）sin

π

4

=

3

5

，…（4分）
∴cosA=

1-sin2A

=

4

5

，…（5分）
∴tanA=

3

4

；…（6分）
（Ⅱ）∵sinA=

3

5

，b=8，
∴由△ABC的面积s=

1

2

bcsinA=24得：c=10，…（8分）
∴根据余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=36，
∴a=6．…（12分）

点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦函数公式，三角形的面积公式，以及余弦定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键，同时注意角度的灵活变换．