在等式cos2x=2cos2x-1的两边对x求导′=(2cos2x-1)′.由求导法则得·2=4cosx·.化简后得等式sin2x=2sinxcosx.(1)利用上述想法.试由等式证明:.(2)对于整数.n≥3.求证:(i),(ii),(iii). 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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在等式cos2x=2cos²x-1的两边对x求导（cos2x）′=（2cos²x-1）′。由求导法则得（-sin2x）·2=4cosx·（-sinx），化简后得等式sin2x=2sinxcosx。
（1）利用上述想法（或者其他方法），试由等式（x∈R，整数n≥2）证明：。
（2）对于整数，n≥3，求证：
（i）；
（ii）；
（iii）。

解：（1）在等式

两边对x求导得

移项得
（*）；
（2）（i）在（*）式中，令x=-1
整理得
；
（ii）由（1）知
两边对x求导，得

在上式中令x =-1，得

即
亦即
又由（i）知
由①+②得；
（iii）将等式
两边在[0，1]上对x积分

由微积分基本定理，得

所以。

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（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（1+x）ⁿ=C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ（x∈R，正整数n≥2），证明：n[(1+x)n-1-1]=

k=2

xk-1．
（2）对于正整数n≥3，求证：
（i）

k=1

(-1)kk

=0；
（ii）

k=1

(-1)kk2

=0；
（iii）

k=1

k+1

2n+1-1

n+1

．

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(Ⅰ)利用上述想法（或者其他方法），试由等式

（x∈R，整数n≥2），证明：

；
(Ⅱ)对于整数n≥3，求证：
(ⅰ)

；
(ⅱ)

；
(ⅲ)

。

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（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（1+x）ⁿ=C_n+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ（x∈R，正整数n≥2），证明：