Question

5．在数列{a_n}中，a_n=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$（n≥2），a₁=1，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}中，a_n=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$（n≥2），a₁=1，（S_n-S_n-1）（2S_n-1）=2${S}_{n}^{2}$，化为：$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，利用等差数列的通项公式可得S_n．n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，可得a_n．
（2）由（1）可得：数列{a_n}的前n项和S_n．

解答 解：（1）数列{a_n}中，a_n=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$（n≥2），a₁=1，
∴（S_n-S_n-1）（2S_n-1）=2${S}_{n}^{2}$，化为：$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，
∴数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差数列，公差为2，首项为1．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1．
∴S_n=$\frac{1}{2n-1}$．
∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n-3}$=$\frac{-2}{（2n-1）（2n-3）}$，n=1时也成立．
∴a_n=$\frac{-2}{（2n-1）（2n-3）}$．
（2）由（1）可得：数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{2n-1}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．