Question

双曲线C的中心在原点，右焦点为F(

2 3

3

， 0)，渐近线方程为y=±

3

x．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+1与双曲线C交于A、B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设双曲线的方程是

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，则c=

2 3

3

，

b

a

=

3

．由此能求出双曲线的方程．
（Ⅱ）由

y=kx+1 3x2-y2=1

，得（3-k²）x²-2kx-2=0，由△＞0，且3-k²≠0，得-

6

＜k＜

6

，且 k≠±

3

．设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由以AB为直径的圆过原点，知 x₁x₂+y₁y₂=0．由此能够求出k=±1．

解答：解：（Ⅰ）设双曲线的方程是

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，则c=

2 3

3

，

b

a

=

3

．
又∵c²=a²+b²，∴b²=1，a2=

1

3

．
所以双曲线的方程是3x²-y²=1．
（Ⅱ）①由

y=kx+1 3x2-y2=1

得（3-k²）x²-2kx-2=0，
由△＞0，且3-k²≠0，得-

6

＜k＜

6

，且 k≠±

3

．
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，
所以 x₁x₂+y₁y₂=0．
又x1+x2=

-2k

k2-3

，x1x2=

2

k2-3

，
所以 y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=1，
所以 

2

k2-3

+1=0，解得k=±1．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要认真审题，注意双曲线性质的灵活运用，合理地进行等价转化．