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已知可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和,若不等式对于恒成立,则实数的取值范围是____________.

 

解析试题分析:依题意,g(x)+h(x)= .....(1),∵g(x)是奇函数,∴g(-x)=-g(x);∵h(x)是偶函数,∴h(-x)=h(x);
∴g(-x)+h(-x)="h(x)-g(x)=" ......(2)
解(1)和(2)组成的方程组得h(x)= ,g(x)=  
∴ag(x)+h(2x)=a + ,∴a· +≥0在x∈[1,2]恒成立
令t=,∴= ,当x∈[1,2]时,t∈[2,4],
∴原不等式化为a(t-)+(t2+)≥0在t∈[2,4]上恒成立,由不等式a(t-)+(t2+)≥0,
可得a(t-)≥-(t2+),∵当t∈[2,4]时,t-t>0恒成立,∴a≥ ==  ,即a≥在t∈[2,4]上恒成立,
令u=t-,求导得=1+>0恒成立,∴u=t-在t∈[2,4]上单调递增
∴u∈[ ],令f(u)=u+,u∈[],
求导得(u)=1->0在u∈[]上恒成立,∴f(u)在u∈[]上单调递增
即当u=,f(u)取最小值f()=
当u=时,可解得t=2(另一根不在t∈[2,4]内故舍去)
∴当t=2时, 取最小值为 ,即取最大值为-,∴a≥-,当t=2,x=1时取等号,∴a的最小值为-
考点:1.函数的奇偶性;2.不等式的性质;3.导数的性质.

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