Question

已知函数f（x）=（x²-3x+3）e^x的定义域为（-2，t）（t＞-2）
（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在（-2，t）上为单调函数．
（2）求证：对于任意t＞-2，总存在x₀满足=并确定这样的x₀个数．

Answer 1

解：（1）f′（x）=（2x-3）e^x+（x²-3x+3）e^x=（x²-x）e^x=x（x-1）e^x=0，得x=0或x=1
由f′（x）＞0?x＜0，或x＞1；f′（x）＜0?0＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴要使f（x）在（-2，t）上为单调函数，则-2＜t≤0．（6分）
（2）∵，
∴，
即为x₀²-x₀=，
令g（x）=x²-x-，从而问题转化为证明方程g（x）==0在（-2，t）上有解并讨论解的个数，
因为g（-2）=6-（t-1）²=-，g（t）=t（t-1）-=，
所以当t＞4或-2＜t＜1时，g（-2）•g（t）＜0，
所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且只有一解，
当1＜t＜4时，g（-2）＞0且g（t）＞0，
但由于g（0）=-＜0，所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且有两解，
当t=1时，g（x）=x²-x=0，解得x=0或1，
所以g（x）=0在（-2，t）上有且只有一解，
当t=4时，g（x）=x²-x-6=0，
所以g（x）=0在（-2，t）上也有且只有一解，
综上所述，对于任意的t＞-2，总存在x₀∈（-2，t），满足 ，
且当t≥4或-2＜t≤1时，有唯一的x₀适合题意，
当1＜t＜4时，有两个x₀适合题意．
分析：（1）由f（x）=（x²-3x+3）•e^x，知f′（x）=（x²-x）e^x，令f′（x）≥0，则x≥1或x≤0，由此能够确定t的取值范围，使得函数f（x）在[-2，t]上为单调函数．
（2）先将x₀代入f'（x）求出=x²-x₀，然后转化成方程x²-x-（t-1）²=0在（-2，t）上有解的问题，分类讨论确定x₀的个数．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、根的存在性及根的个数判断，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．