Question

【题目】已知函数 ．
（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性
（2）判断并证明当x∈（﹣1，1）时函数f（x）的单调性；
（3）在（2）成立的条件下，解不等式f（2x﹣1）+f（x）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵y=x2+1为偶函数，y=x为奇函数

根据函数奇偶性的性质，我们易得

函数 为奇函数

（2）解：当x∈（﹣1，1）时

∵函数

f'（x）= ＞0恒成立

故f（x）在区间（﹣1，1）上为单调增函数

（3）解：在（2）成立的条件下，不等式f（2x﹣1）+f（x）＜0可化为：

解得：

∴不等式的解集为

【解析】（1）由于函数的定义域为R，关于原点对称，故我们可利用函数奇偶性的性质判断方法来解答问题；（2）由函数f（x）的解析式，我们易求出原函数的导函数的解析式，结合x∈（﹣1，1），确定导函数的符号，即可判断函数的单调性；（3）结合（1）、（2）的结论，我们可将原不等式转化为一个关于x的不等式组，解不等式组即可得到答案．
【考点精析】掌握函数单调性的判断方法和函数单调性的性质是解答本题的根本，需要知道单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集．