(Ⅰ)若C在点M法线的斜率为-,求点M的坐标(x0,y0);
(Ⅱ)设P(-2,a)为C对称轴上的一点,在C上是否存在点,使得C在该
点的法线通过点P?若有,求出这些点,以及C在这些点的法线方程;若没有,请说明理由.
22.本小题主要考查导数的几何意义和应用,直线方程以及综合运用数学知识解决问题的能力. 解:
(Ⅰ)函数y=x2+4x+的导数
=2x+4
C上点(x0,y0)处切线的斜率
k0=2x0+4,
因为过点(x0,y0)的法线斜率为-,
所以 -(2x0+4)=-1,
解得x0=-1,y0=,
故点M的坐标为(-1,).
(Ⅱ)设M(x0,y0)为C上一点.
(i)若x0=-2,则C上点M(-2,-)处的切线斜率k=0,过点M(-2,-)的法线方程为x=-2,此法线过点P(-2,a).
(ii)若x0≠-2,则过点M(x0,y0)的法线方程为
y-y0=-(x-x0). ①
若法线过P(-2,a),则a-y0=-(-2-x0),
即 (x0+2)2=a. ②
若a>0,则x0=-2±,从而
y0=x+4x0+=,
将上式代入①,化简得
x+2y+2-2a=0,
x-2y+2+2a=0.
若a=0,则与x0≠-2矛盾.
若a<0,则②式无解.
综上,当a>0时,在C上有三个点(-2+,),(-2-,)
及(-2,-).在这三点的法线过点P(-2,a),其方程分别是:
x+2y+2-2a=0,
x-2y+2+2a=0,
x=-2.
当a≤0时,在C上有一个点(-2,-),在这点的法线过点P(-2,a),其方
程为:
x=-2.
科目:高中数学 来源:湖北省襄阳五中2012届高三上学期期中考试数学文科试题 题型:044
已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为l,焦点为F,圆M的圆心在x轴的正半轴上,且与y轴相切,过原点O作倾斜角为的直线n,交l于点A,交圆M于另一点B,且AO=BO=2
(1)求圆M和抛物线C的方程;
(2)若P为抛物线C上的动点,求的最小值;
(3)过l上的动点Q向圆M作切线,切点为S,T,判断直线ST是否恒过定点?若恒过定点,求该定点的坐标.
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科目:高中数学 来源:浙江省东阳中学2012届高三上学期期中考试数学文科试题 题型:044
已知抛物线C:y=mx2(m>0),焦点为F,直线2x-y+2=0交抛物线C于A、B两点,P是线段AB的中点,过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.
(1)若抛物线C上有一点F(xR,2)到焦点F的距离为3,求此时m的值;
(2)是否存在实数m,使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年湖南省郴州市高三下学期第六次月考文科数学 题型:解答题
(本小题满分13分)
已知抛物线C:y=2x2,直线y=kx+2交C于A,B两点,M是线段AB的中点,过M作x轴
的垂线交C于点N.(1)证明:抛物线C在点N处的切线与AB平行;
(2)是否存在实数k使·=0,若存在,求k的值;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源:2011-2012年福建省福州市高二上学期期末考试理科数学 题型:填空题
已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线C交于A,B两点,若P(2,2)为AB的中点,则抛物线C的方程为________.
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科目:高中数学 来源:2011-2012年广东省高二12月月考理科数学 题型:填空题
已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线C交于A,B两点,若P(2,2)为AB的中点,则抛物线C的方程为________.
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