Question

顶点在坐标原点，开口向上的抛物线经过A₀（1，1），过A₀作抛物  线的切线交x轴于B₁，过B₁点作x轴的垂线交抛物线于A₁，过A₁作抛物线的切线交x轴于B₂，…，过A_n（x_n，y_n）作抛物线的切线交x轴于B _n+1（x _n+1，0）
（1）求{x_n}，{y_n}的通项公式；
（2）设a_n=+，数列{a_n}的前n项和为T_n．求证：T_n＞2n﹣．
（3）设b_n=1﹣log₂y_n，若对任意正整数n，不等式（1+）（1+）…（1+）≥a成立，求正数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）由已知得抛物线方程为y=x²，y'=2x，

则设过点A_n（x_n，y_n）的切线为y﹣x_n²=2x_n（x﹣x_n），
令y=0，x=，故x _n﹣1=，
又x₀=1，∴x_n=，y_n=，
（2）证明：由（1）知x_n=，
所以a_n=+=+=2﹣（﹣），
由于＜，＞，
得﹣＜﹣，
∴a_n=2﹣（﹣）＞2﹣（﹣），
从而T_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n＞2n﹣[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]
                                         =2n﹣（）＞2n﹣，
即T_n＞2n﹣，
（3）由于y_n=，故b_n=2n+1，对于任意正整数n，
不等式（1+）（1+）…（1+）≥a，
a≤（1+）（1+）…（1+）恒成立，
设f（n）=（1+）（1+）…（1+），
∴f（n+1）=（1+）（1+）…（1+）（1+），
=×（1+）=×==＞1，
∴f（n+1）＞f（n），故f（n）为递增，
∴f（n）_min=f（1）=×=，
∴0＜a≤．