Question

已知各项均为正数的数列{a_n}满足：a₁=a₃，a₂=1，an+2=

1

1+an

，则a₉+a₁₀=

1+4 5

8

．

Answer 1

分析：先令n=1得a₃=

1

1+a1

，结合条件a₁=a₃，即a₁=

1

1+a1

，解得a₁，再令n=2，利用数列的周期性分别求得a₉和a₁₀，从而得出答案．

解答：解：令n=1得a₃=

1

1+a1

，即a₁=

1

1+a1

即a

2 1

+a₁-1=0，解得a₁=

5 -1

2

．
再令n=2，得a4=

1

1+a2

=

1

1+1

=

1

2

，⇒a6=

1

1+a4

=

2

3

，⇒a8=

1

1+a6

=

3

5

，⇒a10=

1

1+a8

=

5

8

．
同样地，得a9=

1

1+a7

=…=

4 5 -4

8

．
则a₉+a₁₀=

1+4 5

8

．
故答案为：

1+4 5

8

．

点评：本题主要考查了数列的概念及简单表示法，递推式，理解数列的周期性方法是解题的关键．