如图,椭圆过点P(1, ),其左、右焦点分别为F1,F2,离心率e=,M,N是直线x=4上的两个动点,且·=0.
(1)求椭圆的方程;
(2)求|MN|的最小值;
(3)以MN为直径的圆C是否过定点?请证明你的结论。
(1)=1;(2);(3)(4-,0)和(4+,0) .
【解析】
试题分析:(1)因为:,且过点P(1, ),列出关于a,b的方程,解得a,b.最后写出椭圆方程即可;(2)设点M(4,m),N(4,n)写出向量的坐标,利用向量的数量积得到mn=-15,又|MN|=|m-n|=|m|+|n|=|m|+≥,结合基本不等式即可求得MN的最小值;
(3)利用圆心C的坐标和半径得出圆C的方程,再令y=0,得x2-8x+1=0从而得出圆C过定点.
试题解析:(1)由已知可得
∴椭圆的方程为=1 4分
(2)设M(4,m),N(4,n),∵F1(-1,0),F2(1,0)
=(5,m),=(3,n),由=0mn=-15<0 6分
∴|MN|=|m-n|=|m|+|n|=|m|+≥2 ∴|MN|的最小值为2 10分
(3)以MN为直径的圆C的方程为:(x-4)2+(y-)=()2 11分
令y=0得(x-4)2=-=-mn=15x=4±
所以圆C过定点(4-,0)和(4+,0) 13分
考点:1.圆与圆锥曲线的综合;2.椭圆的简单性质.
科目:高中数学 来源:2015届河北邯郸高二上学期期末考试理科数学试卷(解析版) 题型:选择题
如图所示,已知两座灯塔A、B与海洋观测站C的距离都等于,灯塔A在观测站C的北偏东,灯塔B在观测站C的南偏东,则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A. B. C. D.
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科目:高中数学 来源:2015届河北邯郸高二上学期期末考试文科数学试卷(解析版) 题型:选择题
已知命题:所有有理数都是实数,命题正数的对数都是负数,则下列命题中是真命题的是( )
A. B.
C. D.
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科目:高中数学 来源:2015届江西赣州四所重点中学高二上学期期末联考理数学试卷(解析版) 题型:填空题
如图,在等腰直角△ABC中,过直角顶点C在△ACB内任作一条射线CM,与线段AB交于点M,则AM<AC的概率为 。
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科目:高中数学 来源:2015届江西赣州四所重点中学高二上学期期末联考理数学试卷(解析版) 题型:选择题
设A,B两点的坐标分别为(-1,0),(1,0),条件甲:·>0;条件乙:点C的坐标是方程的解,则甲是乙的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
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科目:高中数学 来源:2015届江西赣州四所重点中学高二上学期期末联考文数学试卷(解析版) 题型:选择题
已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中圆的直径为4,该几何体的体积为V1,直径为4的球的体积为V2,则V1:V2等于( )
A.1:2
B.2:1
C.1:1
D.1:4
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科目:高中数学 来源:2015届江西赣州六校高二上学期期末联考文科数学试卷(解析版) 题型:选择题
下列说法错误的是( )
A.“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件
B.命题“若,则”的否命题是:“若,则”
C.若命题p:存在,则命题p的否定:对任意
D.若命题“非p”与命题“p或q”都是真命题,那么命题q一定是真命题
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