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如图,椭圆过点P(1, ),其左、右焦点分别为F1,F2,离心率e,M,N是直线x4上的两个动点,且·0.

1)求椭圆的方程;

2)求|MN|的最小值;

3)以MN为直径的圆C是否过定点?请证明你的结论。

 

11;(23(40)(40) .

【解析】

试题分析:(1)因为:,且过点P(1, ),列出关于ab的方程,解得ab.最后写出椭圆方程即可;(2)设点M4m),N4n)写出向量的坐标,利用向量的数量积得到mn=-15,又|MN||mn||m||n||m|,结合基本不等式即可求得MN的最小值;

3)利用圆心C的坐标和半径得出圆C的方程,再令y=0,得x2-8x+1=0从而得出圆C过定点.

试题解析:1)由已知可得

椭圆的方程为1 4

2)设M4m),N4n),F1(10)F2(10)

(5m)(3n),由0mn=-150 6

|MN||mn||m||n||m|≥2 |MN|的最小值为2 10

3)以MN为直径的圆C的方程为:(x4)2(y)()2 11

y0(x4)2=-mn15x

所以圆C过定点(40)(40) 13

考点:1.圆与圆锥曲线的综合;2.椭圆的简单性质.

 

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