Question

定义在[-6，6]上的偶函数f（x）在区间[0，6]上是减函数，且f（3）=0，则不等式xf（x）＞0的解集是（　　）

A．[-6，6]

B．（-3，0）∪（3，6）

C．[-6，-3）∪（0，3）

D．（-3，3）

Answer 1

分析：利用函数f（x）是偶函数，且f（3）=0，得到f（-3）=0，然后利用函数f（x）在区间[0，6]上是减函数，得到函数在[-6，0]上为增函数，从而得到函数f（x）的取值，解不等式即可．

解答：解：∵函数f（x）是定义在[-6，6]上的偶函数，在区间[0，6]上是减函数，且f（3）=0
∴函数在[-6，0]上为增函数，且f（-3）=-f（3）=0，（如图，直线只代表函数的单调性．）
∴当-3＜x＜3时，f（x）＞0，
当3＜x≤6或-6≤x＜-3时，f（x）＜0．
当x＞0时，不等式xf（x）＞0，等价为f（x）＞0．此时0＜x＜3．
当x＜0时，不等式xf（x）＞0，等价为f（x）＜0．此时-6≤x＜-3．
∴不等式xf（x）＞0的解集为 {x|-6≤x＜-3或0＜x＜3}．
故选C．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用数形结合是解决此类问题的关键．