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已知定义在[-3,3]上的函数 y=tx-
12
x3
,(t为常数).
(1)当t∈[2,6]时,求f(x)在[-2,0]上的最小值及取得最小值时的x;
(2)当t≥6时,证明函数y=f(x)的图象上至少有一点在直线y=8上.
分析:(1)求出函数的导数,研究函数f(x)在[-2,0]上的单调性,确定出最值的位置,求出最值及取得最值时的自变量;
(2)t≥6时,研究函数的单调性,求出函数在定义在[-3,3]上最大值,将此最值与8比较即可得出所要证明的结论成立与否
解答:解:(1)f'(x)=t-
3
2
x2,令f′(x)=0得x=±
2t
3

∵2≤t≤6∴
2t
3
∈[
4
3
,2]

x (-3,-
2t
3
)
-
2t
3
(-
2t
3
2t
3
)
2t
3
(
2t
3
,3)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) 极小值 极大值
2t
3
?
=2
时,即t=6时,f(x)在[-
2t
3
?
,0]
上是增函数,
2t
3
?
<2
即2<t<6时,f(x)在(-2,-
2t
3
?
)
减,在(-
2t
3
?
,0)
上增
∴f(x)在[-2,0]上最小值为f(x)min=f(-
2t
3
?
)=-(
2t
3
?
)
3
2
,此时x=-
2t
3
=-
6t
3

(2)由(1)可知f(x)在(-
2t
3
?
2t
3
?
)
上增,
2t
3
?
≥3
t≥
27
2
时,f(x)在[-3,3]上最大值为f(3)=3t-
27
2
81
2
-
27
2
=27>8
2t
3
?
<3
6≤t<
27
2
时,f(x)在[0,3]上最大值为,f(
2t
3
)=t
2t
3
-
1
2
(
2t
3
)3=(
2t
3
)
3
2
≥(
2×6
3
)
3
2
=8
又f(0)=0,
∴y=f(x)的图象上至少有一点在直线y=8上
点评:本题考查利用导数求闭区间上的最值,解题的关键是利用导数研究清楚函数的单调性,确定出最值取到的位置,求出最值,本题第二小题将图象在直线上方的问题转化为函数值的比较,解题时注意这一技巧的运用,本题运算量比较大,解题时要注意严谨运算,莫因为运算出错导致解题失败
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