Question

已知定义在[-3，3]上的函数 y=tx-

1

2

x3，（t为常数）．
（1）当t∈[2，6]时，求f（x）在[-2，0]上的最小值及取得最小值时的x；
（2）当t≥6时，证明函数y=f（x）的图象上至少有一点在直线y=8上．

Answer 1

分析：（1）求出函数的导数，研究函数f（x）在[-2，0]上的单调性，确定出最值的位置，求出最值及取得最值时的自变量；
（2）t≥6时，研究函数的单调性，求出函数在定义在[-3，3]上最大值，将此最值与8比较即可得出所要证明的结论成立与否

解答：解：（1）f'（x）=t-

3

2

x2，令f′(x)=0得x=±

2t 3

∵2≤t≤6∴

2t 3

∈[

4 3

，2]

x	(-3，- 2t 3 )	- 2t 3	(- 2t 3 ， 2t 3 )	2t 3	( 2t 3 ，3)
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	极小值	↗	极大值	↘

当

2t 3 ?

=2时，即t=6时，f（x）在[-

2t 3 ?

，0]上是增函数，
当

2t 3 ?

＜2即2＜t＜6时，f（x）在(-2，-

2t 3 ?

)减，在(-

2t 3 ?

，0)上增
∴f（x）在[-2，0]上最小值为f(x)min=f(-

2t 3 ?

)=-(

2t 3 ?

)

3

2

，此时x=-

2t 3

=-

6t 3

（2）由（1）可知f（x）在(-

2t 3 ?

，

2t 3 ?

)上增，
当

2t 3 ?

≥3即t≥

27

2

时，f（x）在[-3，3]上最大值为f（3）=3t-

27

2

≥

81

2

-

27

2

=27＞8
当

2t 3 ?

＜3即6≤t＜

27

2

时，f（x）在[0，3]上最大值为，f(

2t 3

)=t

2t 3

-

1

2

(

2t

3

)3=(

2t

3

)

3

2

≥(

2×6

3

)

3

2

=8
又f（0）=0，
∴y=f（x）的图象上至少有一点在直线y=8上

点评：本题考查利用导数求闭区间上的最值，解题的关键是利用导数研究清楚函数的单调性，确定出最值取到的位置，求出最值，本题第二小题将图象在直线上方的问题转化为函数值的比较，解题时注意这一技巧的运用，本题运算量比较大，解题时要注意严谨运算，莫因为运算出错导致解题失败