Question

2．已知函数f（x）满足2f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=3x（x≠0）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）求函数f（x）的零点．

Answer 1

分析 （1）由于2f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=3x ①，可得2f（$\frac{1}{x}$）+f（x）=3•$\frac{1}{x}$ ②，由①②求得f（x）的解析式，从而得出结论．
（2）令f（x）=2x-$\frac{1}{x}$=0，求得x的值，即为函数的零点．

解答 解：（1）由于2f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=3x ①，可得2f（$\frac{1}{x}$）+f（x）=3•$\frac{1}{x}$ ②，
由①②求得f（x）=2x-$\frac{1}{x}$，故函数f（x）为奇函数．
（2）令f（x）=2x-$\frac{1}{x}$=0，求得x=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故函数的零点为±$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查求函数的解析式，函数的奇偶性的判断，求函数的零点，属于基础题．