Question

设椭圆的两个焦点分别为F₁，F₂，过F₂作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P，若△F₁PF₂为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（　　）

• A、

  2

  -1
• B、

  2 +1

  2

• C、2

  2

• D、

  2

  2

Answer 1

分析：设椭圆的方程和点P的坐标，把点P的坐标代入椭圆的方程，求出点P的纵坐标的绝对值，Rt△PF₁F₂ 中，利用边角关系，
建立a、c 之间的关系，从而求出椭圆的离心率．

解答：解：设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0），设点P（c，h），则

c2

a2

+

h2

b2

=1，
h²=b²-

b2c2

a2

=

b4

a2

，∴|h|=

b2

a

，由题意得∠F₁PF₂=90°，∠PF₁F₂=45°，
Rt△PF₁F₂ 中，tan45°=1=

PF2

F1F2

=

PF2

2c

=

|h|

2c

=

b2

2ac

=

a2-c2

2ac

，
∴a²-c²=2ac，(

c

a

)2+2•

c

a

-1=0，∴

c

a

=

2

-1，
故选 A．

点评：本题考查椭圆的简单性质，直角三角形中的边角关系的应用．考查计算能力．