Question

已知数列{a_n}成等差数列，且a₃=11，a₆=23，令b_n=

a1+a2+a 3+…+an

n

．
（1）求数列{b_n}的前n项和S_n；
（2）若C_n=

1

Sn

，若数列{C_n}的前n项和为T_n，且对任意的n∈N^*都有T_n≥m无解，求m范围．

Answer 1

分析：（1）依题意，可求得a_n=4n-1，进一步可证数列{b_n}是等差数列，且求得b_n=2n+1，从而可求数列{b_n}的前n项和S_n；
（2）利用裂项法可求得C_n=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），从而可求T_n=

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

，利用等价转化的思想即可求得实数m的范围．

解答：解：（1）∵数列{a_n}是等差数列，且a₃=11，a₆=23，
∴其公差d=

a6-a3

6-3

=

23-11

3

=4，
∴a_n=a₃+（n-3）d=11+（n-3）×4=4n-1，
∴a₁+a₂+…+a_n=

(3+4n-1)×n

2

，
∴b_n=

a1+a2+a 3+…+an

n

=

(3+4n-1)×n 2

n

=2n+1，
∴b_n+1-b_n=2，故数列{b_n}是等差数列，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=

(3+2n+1)×n

2

=n²+2n；
（2）∵C_n=

1

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
∴T_n=C₁+C₂+…+C_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

n-1

-

1

n+1

）+（

1

n

-

1

n+2

）]
=（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
=

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

，
∵对任意的n∈N^*都有T_n≥m无解?对任意的n∈N^*都有T_n＜m恒成立，
∴m≥

3

2

．
∴实数m的范围是[

3

2

，+∞）．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差关系关系的确定，突出裂项法求和的应用，考查等价转化思想、方程思想与综合运算能力，属于难题．