Question

设f（x）=lg

1+2x+4xa

3

，如果当x∈（-∞，1]时f（x）有意义，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：f（x）有意义，则真数大于0，所以问题转化为1+2^x+4^xa＞0在x∈（-∞，1]上恒成立的不等式问题．分离参数，转化为求函数的最值解决．注意到4^x=（2^x）²，换元法转化为求二次函数在特定区间上的最值问题．

解答：解：当x∈（-∞，1]时f（x）=lg

1+2x+4xa

3

有意义的函数问题，
转化为1+2^x+4^xa＞0在x∈（-∞，1]上恒成立的不等式问题．
不等式1+2^x+4^xa＞0在x∈（-∞，1]上恒成立，
即：a＞-[（

1

2

）^2x+（

1

2

）^x]在x∈（-∞，1]上恒成立．
设t=（

1

2

）^x，则t≥

1

2

，又设g（t）=t²+t，其对称轴为t=-

1

2

∴g（t）=t²+t在[

1

2

，+∞）上为增函数，当t=

1

2

时，g（t）有最小值g（

1

2

）=（

1

2

）²+

1

2

=

3

4

所以a的取值范围是a＞-

3

4

．

点评：本题考查对数函数的定义域、不等式恒成立问题，考查换元法和转化思想．