Question

设函数f（x）=lg

1+2x+4xa

3

(a∈R)．
（Ⅰ）当a=-2时，求f（x）的定义域；
（Ⅱ）如果x∈（-∞，-1）时，f（x）有意义，试确定a的取值范围； 
（Ⅲ）如果0＜a＜1，求证：当x≠0时，有2f（x）＜f（2x）．

Answer 1

分析：（1）当a=-2时，由对数的真数大于0，解不等式

1+2x-2•4x

3

＞0得2^x＜1，从而得到f（x）的定义域为（-∞，0）；
（2）根据题意，

1+2x+a•4x

3

＞0在（-∞，-1）上成立．变量分离，得a＞-

1+2x

4x

在（-∞，-1）上成立，再讨论不等式右边式子的取值范围，即可得到实数a的取值范围； 
（3）将式子2f（x）与f（2x）作差，化简整理得2f（x）-f（2x）=lg

(1+2x+a•4x)2

3(1+22x+a•42x)

，再令t=2^x，以t为单位将真数的分子与分母的差进行放缩，可得2f（x）-f（2x）＜lg1=0，从而证出当x≠0时，有2f（x）＜f（2x）．

解答：解：（1）当a=-2时，f（x）=lg

1+2x-2•4x

3

令

1+2x-2•4x

3

＞0，即1+2^x-2•4^x＞0，整理得（2^x-1）（2•2^x+1）＜0
解这个不等式，得-

1

2

＜2^x＜1，结合2^x＞0，得2^x∈（0，1）
∴x＜0，得f（x）的定义域为（-∞，0）
（2）当x∈（-∞，-1）时，f（x）有意义，即

1+2x+a•4x

3

＞0在（-∞，-1）上成立，
等价于1+2^x+4^xa＞0在（-∞，-1）上成立，得a＞-

1+2x

4x

在（-∞，-1）上成立，
令g（x）=-

1+2x

4x

，得g'（x）=

(4xln4)(1+2x)-(2xln2)•4x

42x

=

ln2(2+2x)

4x

＞0，（x＜-1）
∴g（x）在（-∞，-1）上为增函数，得g（x）＜g（-1）=-6，
由此可得：a＞-6，即若x∈（-∞，-1）时f（x）有意义，a的取值范围为（-6，+∞）；
（3）当0＜a＜1且x≠0时，2f（x）-f（2x）=2lg

1+2x+a•4x

3

-lg

1+22x+a•42x

3

=lg

(1+2x+a•4x)2

3(1+22x+a•42x)

，
设2^x=t，因为x≠0，所以t≠1，则（1+2^x+a•4^x）²-3（1+2^2x+a•4^2x）=t⁴（a²-3a）+2at³+t²（2a-2）+2（t-1）
∵t⁴（a²-3a）+2at³+t²（2a-2）+2（t-1）＜t⁴（a²-3a²）+2at³+t²（2a-2）+2（t-1）
而t⁴（a²-3a²）+2at³+t²（2a-2）+2（t-1）=-（at-1）²t²-（at²-1）²-（t-1）²＜0
∴0＜

(1+2x+a•4x)2

3(1+22x+a•42x)

＜1，得2f（x）-f（2x）＜0，
综上所述，可得当0＜a＜1且x≠0时，2f（x）＜f（2x）．

点评：本题给出含有指数、对数形式的基本初等函数，讨论函数的定义域和值域并证明不等式成立，着重考查了指数、对数函数等基本初等函数的图象与性质、不等式恒成立的处理等知识，属于中档题．